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JOURNAL

DE

MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES.

IMPMMERIE DE BACHELIER,

RCE DO JIRDINET, N<> 12.

JOURNAL

DE

MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES,

oc

RECUEIL MENSUEL

DE MÉMOIRES SUR LES DIVERSES PARTIES DES MATHÉMATIQUES ;

PAR JOSEPH LIOU VILLE,

Aucien Elève de l'Ekiole Polytechnique, professeur d'Analyse à cette École.

TOME TROISIEME.

ANNÉE 1858.

PARIS,

BACHELIER , IMPRLMEUR-LIBRAIRE

DE l'École polytechnique, du bureau des longitudes, etc.

QDAI DES ADGDSTINS, N° 55.

1838

I t.3

,».\\VV\WVVWVV\VWVWVWWWVW\\VWVV\WV\WVWV\\V1^^Wv\\\WWVVV\W\*^

TABLE DES MATIÈRES.

Sur les deux derniers cahiers du journal de M. Crelle; par J . Liouvillc. Page i Note sur les limites de la série de Taylor ; par M. Poisson. 4

Dénionslration j>éoniétrique de la formule intégrale

J o J b y i^—b') (c^ — v'j (ù' — «') (f — ç') 2 '^' par M. Chas les. lo

Sur les lignes conjointes dans les coniques ; par M. Terquem. i •^

Nouvelles Recherches sur la déterminatiou des intégrales dont la valeur est algébrique ; par J. Liouville. 22

Solution d'une question relative à la probabilité des jugements rendus à une iHajorité quelconque ; par Ad. Guibert. aS

Sur l'intégration d'une classe d'équations différentielles ; par J. Liouville. 3i

Extrait d'une Thèse sur le mouvement des corps flottants de forme quel- conque; par M. 3Iolins. 33

Sur le calcul des variations et sur la Théorie des écjuatious difFéientielles ; par M. Jacobi. ^^

Sur la Réduction de l'intégration des Équations différentielles du premier ordre entre un nombre quelconque de variables à l'intégration d'im seul système d'équations différentielles ordinaires; par M. Jacobi. 60

Notes historiques . 1°. sur la locution : diviser une droite en moyenne et extrême raison; 2°. sur la méthode des polygones réguliers isopérimètres. Et observations sur quelques théorèmes de M. Chaslesjpar M. O. l^crquent. 07

Nouvelle manière d'étudier les coniques dans le cône oblique. Propriétés

générales du cône et des coniques planes et sphériques ; par M, Ckasles

Note sur un Problème de combinaisons ; par E. Catalan.

Recherches sur les Nombres ; par M. Lebesguc. .,3

Note de Géométrie. — Sur quelques propriétés de l'Ellipsoïde à tioisaxes inégaux ; par M. Théodore Olivier. 1 /c

Suite du mémoire sur la Réduction de l'inlégration des Équaiions différcn- tielles partielles du premier ordre entre un nombre quelconque de varia- bles à l'intégration d'un seul système d'équations dift'érentielles ordinaires- par M. Jacobi. ^^^^

Sur quelques questions relatives à la Théorie des courbes ; par A. Miqucl. 202

102 1 1 1

v| TABi.E

Sur la Théorie des oscillations de l'eau dans les tuyaux de conduite ; par Anatole de Calignj. Page 20g

Addition à une précédente Note relative à la résolution des équations numé- riques ; par M. Vincent. 235

Sur une certaine démonstration du principe des vitesses virtuelles, qu'on trouve au chapitre III du livre I de la Mécanique céleste ; Note de M. Poinsot. 244

Sur une propriété du Paraboloide osculateur par son sommet en un point d'une surface du second dei;ié; par M. Théodore Olivier. 249

Note sur la Théorie des équations différeutielles; par J. Liouville. 255

Mémoire sur les applications du Calcul des chances à la Statistique judiciaire ; par A.-A. Cournot. 257

Addition au Mémoire de M. Théodore Olivier, inséré dans le cahier de mai. 335

Sur la Théorie des Équations transcendantes ; par J. Liouville. 337

Note sur la Théorie de la Variation des constantes arbitraires ; par J. Liouville, Z^i

Observations sur un Mémoire de M. Libri , relatif à la Théorie de la Cha- leur ; par /. Liouville. 35o

Détermination de l'intégration définie / log (i — 2a cos x •+■ a-) dx ; par

Ch. Delaunaj. 355

Mémoire sur l'Optique ; par C. Sturm. 357

Mémoire sur les lignes conjointes dans les coniqnes ; par M. Cliasles. 385

Noie sur l'intégration d'une Équation aux diflerentielles partielles qui se

présente dans la théorie du Son ; par J. Liouville. ^^35

Calcul des effets de la Machine à élever l'eau, au moyen des oscillations,

de l'invention de M. de Caligny ; par M. G. Coriolis. 437

Note sur le calcul des effets de la Machine précédente et les dispositions essentielles de ses tuyaux d'ascension. — Coup d'ceil historique sur quel- ques Machines à élever l'eau ; par Anatole de Calignjr. 46c Théorèmes sur les Polygones réguliers, considérés dans le cercle et l'ellipse ;

par M. O. Terqutm. 477

Note sur la méthode de Calcul en usage dans le moyen âge pour les nombres

fr actionnaires ; par M. Guérard. 4^3

Théorèmes de Géométrie ; par /J. Miquel. 4^5

Application d'un principe de Mécanique rationnelle à la résolution de quel- ques Problèmes de Géométrie ; par M. Paul Breton. 4^8 Discussion des surfaces du second degré d'après la méthode de M. Plucker,

par M. Finck. 49

Extrait d'une lettre de M. Lamé à M. Liouville sur cette question : Un po- lygone convexe étant donné, de combien de manières peut-on le parlager en triangles au moyen de diagonales ? 5o5

DES MATIERES. vji

Kote sur une Équation aux différences finies; par £. Catalan. Pas^ 5oS

Tbe'orèmes sur les Intersections des cercles et des spbères; par A. Miquel. 5i ■;

Suite du Mémoire sur la classification des Transcendantes, et sur l'impos- sibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie ex- plicite des coefficients ; par /. Liouville. 523

Sur le nombre de manières de déconipostr un Polygone en triangles au moyen de diagonales ; par M. Olinde Rodrigues . 54 "^

Sur le nombre de manières d'effectuer un produit de n facteurs; par M. Olinde Rodrigues. 549

Démonstration élémentaire, et purement algébrique, du développement d'un binôme élevé à une puissance négative ou fractionnaire ; par M. Olinde Rodrigues. 55o

Note sur des Intégrales définies ^ déduites de la théorie des surfaces orthogo- nales ; par G. Lamé. 552

Démonstration d'un Théorème combinatoire de M. Stem ; par M. Terquem . 566

Solution d'un Problème de combinaison; par M. Terquem. 559

Premier Mémoire sur la Théorie des Equations différentielles linéaires et sur le développement des Fonctions en séries ; par /. Liouville. 56i

Note sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles ; pair M. Poisson, 6i5

Addition à la note insérée page 60 de ce volume ; par Anatole de Caligny. 624

Errata. 626

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.

JOURNAL

DE MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES.

Sur les deux derniers cahiers du Journal de M. Crelle; Par Joseph LIOUVILLE.

Ces deux cahiers renferment deux me'moires de M. Jacobi , écrits en allemand , et relatifs au calcul des variations et à la théorie des équations différentielles. L'importance du sujet et le nom de l'auteur nous ont engagés à faire traduire les mémoires de M. Jacobi. pour les insérer dans les prochains cahiers de notre Journal. Nous aurion, bien voulu y trouver place aussi pour un mémoire de M. Plana , sur l'intégrale enlérienne de première espèce, et surtout pour deux ar- ticles très intéressants de M. Lejeune-Dirichlel. Mais cette satisfaction nous est refusée. Les lecteurs français seront donc obligés de recourir au journal même de M. Crelle pour prendre connaissance des recher- ches du géomètre de Berlin. Ils verront que l'auteur parle leur langue avec élégance et précision. Son premier mémoire a pour objet la démonstration de la convergence de la série ¥„ -}- Y, -f- etc. , dont les géomètres font usage dans la théorie de l'aîtraction des sphéroïdes.

Tome III. — Janïiek i838 i

,7 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Dans le second il s'occupe des séries

_' ~ '' ' 2/ V . _' ^ ' . 2;V

S = 2, cos — , f = 2 sin —

, = o P ,=0 'l

où p est un nombre premier '\in-\-\ , et q un nombre premier 4'«+5. On démontre aisément les équations ,y=rb V'^p, /! = drv/'/; mais pour prouver que c'est le signe supérieur qui doit toujours avoir lieu , il faut recourir à des considérations très délicates, comme on le voit dans le mémoire de M. Gauss iutitulé Summatio quaruindam serierum singularium. La méthode de M. Gauss consiste à transformer les sommes précédentes, ou plutôt les expressions générales, qui s'en déduisent en y i-cmplaçant les nombres premiers p et q par un entier quelconque n, en produits de sinus d'arcs équidiflërenls , produits qui sont très faciles à évaluer et qui ne présentent plus aucune am- biguité de signe. M. Diriclilet s'est proposé d'obtenir d'une autre manière les valeurs exactes de s et t.

li Je suis parvenu, dit-il, au théorème suivant, qui comprend les » sommations précédentes :

» La somme de la série finie ou infinie

» F(a) = c„ + 6', cos a H- c, cos a x -}-... ,

» étant connue , on peut toujours exprimer au mo) en de la fonc- )) tiou F (a) , les nouvelles séries

» Co + C,COSl\ f- C\ cos 2' . 1-. . .

n n '

» c, sin 1* . f- c, sm2' . — • -(-,

» qui ont les mêmes coefficients que la précédente.

PURES ET APPLIQUÉES. 5

» Je me flatte que cette nouvelle manière de parvenir aux résultats » si remarquables de M. Gauss pourra avoir quelque intérêt, l'histoire » de la the'orie des nombres nous montrant par de nombreux exem- » pies , que c'est surtout dans cette partie de la science qu'il y a de )) l'avantage à envisager la même question sous des points de vue très )) différents. La méthode de M. Gauss était jusqu'à présent le seul )) moyen de vaincre la difficulté indiquée et qui consiste dans l'ambi- )) guité du signe. Celle que M. Libri a donnée, quoique trèsingénieuse; » ne paraît pas propre à résoudre cette difficulté, puisqu'elle fait dé- » pendre les sommes cherchées d'une équation du second degré. Pour » faire disparaître l'ambiguité que cette circonstance fait naître (*), « le savant auteur a recours à l'expression transformée en produit, ») sans indiquer aucun moyen de pai-venir à cette transformée. Mais ce y> passage de la somme au produit est à lui seul la question tout n entière, puisqu'une fois effectué, il dispense de toute autre analyse , » l'expression eu produit étant du nombre de ceux qu'Euler a déter- » minés depuis long-temps par les considérations le^ plus simples. »

(*) Voyez le Journal de M. Crelle , tome IX, page 187.

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

NOTE

Sur les limites de la série de Taylor y Par m. POISSOIV.

Soit fx une fonclion donnée de la variable x. Si l'on suppose

1 r .■ r ^f^ d'f^ d''-'f.r j • ^ •

qu aucune des 71 fonctions /a-, ^, ^ , . . . ^^„_. , ne devient in- finie pour la valeur qu'on attribuera à x, et si cette variable se change en .r-j- y, on pourra développer ^(x -+-j) , par la série de Taylor prolongée jusqu'au 7i'"" terme inclusivement , de sorte qu'en dési- gnant par R la somme de tous les tei-raes suivants , on aura

^^ 1.2.3. . .72— 1 rfx»-' ^^ J

Je supposerai que l'accroissement j de x, soit compris entre zéro et une quantité donnée h; le reste R .sera une fonction inconnue de x et y ; et il s'agira d'en trouver deux limites, c'est-à-dire, deux quantités dont l'une soit plus grande et l'autre plus petite que R,"pour la va- leur qui sera donnée à x , et pour toutes les valeurs de y , depuis ^ = o jusqu'à y z=.h. Pour cela , je fais

x-\-y — c, x=c—j, ^z=Fx:=F{c—j);

je suppose qu'on donne à c une valeur constante, que l'on fasse croître j depuis zéro jusqu'à ^, et que l'on désigne par a la valeur de r pour laquelle celle de F(c — j) sera la plus grande; de sorte

PURES ET APPLIQUÉES. 5

qu'on ait

F (c — y) — F(c — rt) < o ,

pour toutes les autres valeurs dej". Cela étant, je mets ^ ^[c—a]

à la place de R dans l'équation (i) ; puis je représente par Q l'excès de son premier membre sur le second, ou autrement dit, je fais

J\.^-^J) J^ J dx i.T.- dx^ 1.2.3 rf.r5---

i.2.3...n — i d-r"" ' i.2.3...n ^ ' ^ J

A cause de x=c — /, la quantité Q sera une fonction de la seule va- riable jr- Elle sera nulle pour _^ = o , et une quantité finie, depuis ^= o jusqu'à j' = ^> ou depuis x-=. c jusqu'à x = c — A, du moins

si l'on suppose qu'aucune des n -\- i fonctions fx, -j^ , -^ , . . ,

^^ , -^ > ne devienne infinie entre ces limites. En supposant aussi, pour fixer les idées, que h soit une quantité positive, je dis, de plus, que la fonction Q sera constamment négative entre ces mêmes limites.

En effet, si l'on différentie l'équation (2) par rapport à .r et à r mais en considérant la somme .r 4-j comme une constante, ou en faisant dx = — dj , et sans faire varier non plus la quantité a , qui est une valeur déterminée de j, on trouvera , toutes réductions faites ,

f = rrf^ZTT ^^c -I) - F(c _ .)] ; (3)

quantité négative, à raison de l'inégalité précédente, et parce que la variable j, comprise entre zéro et h, est supposée positive. Or, on démontre sans difficulté, que toute fonction Q dej-, qui s'évanouit avec la variable, dont le coefficient différentiel ~ conserve toujours le même signe depuis y = o jusqu'à y = h, et qui ne passe pas par l'infini entre ces limites, est du même signe que j^ entre ces mêmes

6 JOURNAL DE MATHÉJIATIQUES

limites (*); par conséquent la fonction Q que nous considérons , est négative depuis ^ = o jusqu'à^ = ^j ce qu'il s'agissait de démon- trer.

Maintenant, on tire des équations (i) et (2),

la quantité Q étant négative, on aura donc

R < —^ ¥{c—a).

I .1.6. . .n ^ '

Si l'on eût supposé négative, la limite h des valeurs de^, il y aurait

eu deux cas à distinguer dans l'équation (3): selon que n serait un

, . - . É?Q . , . . , .

nombre pair ou impair, -y- aurait une valeur positive ou négative,

et , par suite , il en serait de même à l'égard de Q ; l'inégalité qu'on vient d'écrire, ne changerait donc pas dans le cas de n impair, et elle se changerait en celle-ci :

R >— -P— F(c— a),

I.2.3.../1 ^ '

dans le cas de n un nombre pair.

En désignant par b la valeur de ^, qui répond à la plus petite valeur de F(c — j') , quand on y fait croître^' depuis zéro jusqu'à h, sans faire varier c , on trouvera, par un raisonnement semblable au précédent,

R > Ç— y(c — b),

•^ i .2.0. . .n ^ ''

quand h sera une quantité positive , ou bien quand n sera un nom- bre impair , et , au contraire ,

(*; Cette proposition est un cas particulier du théorème fondamental des in-

r-b tégrales définies , d'après lequel une intégrale / Xdx exprime la somme de

toutes les valeurs de la difFérenlielle Xdx , depuis x = a jusqu'à x = b, en supposant que X soit une fonction de x , qui ue devient point infinie entre ces limites.

PURES ET APPLIQUÉES. 7

R < Ç—'Bic — b),

^ 1.2.3. . .7J ^ '

lorsque ce nombre n sera pair, et h une quantité négative.

Pour donner à ces limites de R les formes sous lesquelles on a coutume de les présenter, je considère la fonction F(jr-f-j); j*^ suppose que, sans faire varier x\, on y fasse croître y depuis J==-^^ jusqu'à y = h, et je désigne par a et ê, les valeurs de j- correspon- dantes à la plus grande et à la plus petite de celles que prendra F (a: -\-f), de manière qu'on ait

pour toutes les autres valeurs de j. D'après ce qu'on a représenfi' plus haut par ^ et è, on aura identiquement

¥{c — a) = Y{pc+a), F(c - /;) = F (.r + ^) • d'où il résultera les formules ordinaires

quand n sera impair et quel que soil le signe de ^, et au contraire

dans le cas où n est un nombre pair et ^ ou 7 une quantité néga- tive. Les quantités F (x + a) et Y{x + &) pourront être positives ou négatives, et c'est en ayant égard à leurs signes et à celui de j% que ces inégalités auront lieu, de sorte qu'elles signifient que l'excès de la limite supérieure de R sur R, et l'excès de R sur sa limite inférieure, sont des quantités positives.

Les hypothèses que l'on a faites pour parvenir à ces résultats, consistent à supposer qu'aucune des 7i + i fonctions f (x -4- r"*

dx ' dx^ , .... ^^„-, — , -^^ — , ne devient

infinie pour la valeur qu'on donne à a-, et pour l'une des valeurs d*' y

8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

comprises depuis j' = o jusqu'à ^ = /i. Mais, par la théorie relative aux cas où la série de Tajlor est eu défaut , ou sait que si l'un des coefficients différentiels d'une fonction devient infini pour une va- leur particulière de la variable, chacun des coefficients suivants le deviendra également; pour que la condition précédente soit remplie, il sera donc nécessaire et il suffira que la plus grande et la plus petite

valeur F (x + a) et F (x -f- ê) du dernier coefficient -^ ^^ -'' , ou

de F (r +J'), soient des quantités finies. Quand l'une ou l'autre de ces deux quantités, aura une valeur infinie, positive ou négative , les limites précédentes de R ne seront plus applicables, et pour en dé- couvrir d'autres, il faudra recourir à des considérations relatives à la fonction particulière _/^, dont il s'agira.

Si l'on veut exprimer par une intégrale la valeur exacte du reste R, on tirera d'abord, de l'équation (5),

Q = 5-^^ /J'-'F (c — r) & — , /l F (c — a),

^ 1.2.3. ..n — i-'-^ ^ j J ^z 1.2.3. ..rî ^ y»

et ensuite , de l'équation (4) ,

R = — r^ /r" F(c — j) (fy ;

1 intégrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse avec y , et en considérant c comme une constante que l'on remplacera par x -\- y après l'intégration.

Pour vérifier ce résultat , j'observe que l'on a

F(c-^-)=(=fO''-^=^^3 en intégrant par partie, on aura donc

on aura de même

PURES ET APPLIQUÉES. 9

et ea continuant ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé l'exposant dey, on parviendra à une dernière équation

Or, en faisant c = x+^, hors des signes y, dans toutes ces équa- tions successives, et observant qu'il en résultera, pour un nombre in quelconque ,

on en conclura une valeur de /y"~'F(c — y) dy, au moyen de laquelle la valeur précédente de Pi coïncidera avec celle que l'on déduit de l'équation (i); ce qu'il s'agissait de vérifier.

Cette note n'ajoute rien à ce qui était connu; mais elle pourra être utile aux élèves qui commencent l'étude du calcul différentiel.

Tome m. — Janvier i8

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8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUE?

comprises depuis ^• = o jusqu'à j- = //. Mais, par I lluoric relative aux cas où la série de Taylor est en défaut, ou saj [iic si l'un des coefficients différentiels d'une fonction devient infii pour une va- leur particulière de la variable, chacun des coetfiients suivants le deviendra également; pour que la condition précédate soit remplie, il sera donc nécessaire et il suffira que la plus grand et la plus petite

valeur F (x -f- a) et F {x + C) du dernier coefficien ^^, ' , ou

de F(.v-\-J'), soient des quantités finies. Quand 1 ne ou l'autre de ces deux quantités, aura une valeur infinie, positiv ou négative, les limites précédentes de R ne seront plus applicable et pour en dé- couvrir d'autres, il faudra recourir à des considéra ijtis relatives à la fonction particulière fx, dont il s'agira.

Si l'on veut exprimer par une intégrale la valeui ixacte du reste R, on tirera d'abord, de l'équation (3),

et ensuite , de l'équation (4) ,

R = ^ fj'-' F(c — j Ij ;

lintégrale étant prise de manière qu'elle s'évano ssc avec y , et en considérant c comme une constante que l'on rem lacera par x -^ j- après Tintégration.

Pour vérifier ce résultat , j'observe que l'on a

F(c_^-)=(:fO-'-^=^^ en intégrant par partie, on aura donc

-(=p.)-(^-0/r-''"'^!:-'^'^r;

on aura de même

h

_. ^"-Z {c -J-) >._,..-. rf"-'/ (c -y)

df

-.r^dj^f

dj-z^

\n^^y'-^'^^^^0^dj;

l«<

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€l en ce parviein

PURES ET APPLIQUÉES. 9

ant ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé l'exposant àey, on une dernière équation

fif^Ûdjr=:/(c^j)-fc:

Or, en uisiit c = x-f-^, hors des signes /, dans toutes ces équa- tions su- es ves, et observant qu'il en résultera, pour un nombre m quelcoruTue

d'fÇc—j) _ /_ , w d-"fx

on en -ira une valeur de fj''~'^(c — j) dj, au moyen de laquell aleur précédente de R coïncidera avec celle que l'on

déduit ! ]uation (i); ce qu'il s'agissait de vérifier.

Cetti ' n'ajoute rien à ce qui était connu; mais elle pourra être utile ai: élèves qui commencent l'étude du calcul différentiel.

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Tome III — iviER i^

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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

DÉMONSTRATION GÉOMÉTRIQUE

De la Formule intégrale

fj:

1/ („' _ b^) (c- _ .-) (/^' _ ç») fc» — ç')

Pau m. GHASLES.

AI. Lamé , dans sou Mémoire sur les surfaces isothermes , inséré dans le deuxième volume de ce Journal (livraisons d'avril et de mai), est parvenu à cette formule, en la transformant, par des considérations géométriques, en une autre où les variables sont différentes et où les deux intégrations se font sans difficulté. M. Poisson l'a démontrée directement, par la seule théorie des transcendantes elliptiques ^ dans une Note placée à la suite du Mémoire de M. Lamé.

Cette manière est purement analytique; l'autre est mixte, puis- qu'on y fait usage de considérations géométriques pour transformer la formule , et ensuite des règles du calcul intégral pour cftectuer deux intégrations.

J'ai trouvé qu'on j)cut éviter ces deux intégrations, et parvenir ainsi à la formule, d'une troisième manière entièrement géométrique.

Pour cela, rappelons d'abord la signification géométrique sous laquelle la formule s'est présentée dans le mémoire sur les surfaces isothermes.

Que l'on conçoive un ellipsoïde dont les trois demi-diamètres prin- cipaux soient égaux à u, V «' — ^' i \ w° — C.

Que l'on fasse croître le demi-diamètre u d'une quantité du. de manière à produire un second ellipsoïde infiniment peu différent du premier, et qui aura les mêmes excentricités pour ses sections princi-

PURES ET APPLIQUÉES. i ,

pales, puisque b et c sont des constantes. Qu'on prenne, en chaque point m de la surface du premier ellipsoïde, l'e'paisseur cis de la couche comprise entre cette surface et celle du second ellipsoïde ; qu'on fasse

le rapport ^ , et le produit de ce rapport par l'élément superficiel da

du premier ellipsoïde: c'est la somme de tous ces produits, étendue

à la surface entière de l'ellipsoïde . c'est-à-dire ^ -p do) , que M. Lamé

a eu à calculer. {F^. tome II, p. i65 de ce Journal.)

En prenant pour variables les demi-diamètres majeurs >, c des deux hyperboloïdes qu'on peut faire passer par le point m, de ma- nière que leurs sections principales aient les mêmes foyers aue celles de l'ellipsoïde, M. Lamé trouve que

-J-da)= Vf/.* — o* \ te* — c*

«^■^ "^ ^ V(''-*')'c^-«)(i'-r)(c'-ç-)'

De sorte que l'intégrale, étendue à la surface entière de l'ellipsoïde, est

df<. , ^ _ , rb fc (,^-e-).d,.dp

S^./.=8. Vu^-b'Vu'-c'.JJ^ ^/(,_,,cA(.4)(o--r)-

Et en prenant pour variables les coordonnées x , y du point m, rapportées aux axes principaux de l'ellipsoïde pris pour axes coor- donnés, M. Lamé trouve

dxdy

Celle seconde expression , intégrée successivement par rapport à r et à Xs conduit à

2 ^ rfw = 49r . \ 'T^—b^ \ ''^^^r^^\

ds ^

d'où l'on conclut, à cause de la première expression de l'intégrale, la formule en question.

C'est ce calcul , et la double intégration qu'il comprend, que l'on

2->

ï2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

peut éviter et remplacer par des considérations géométriques, anisi

que je vais le faire voir.

11 s'agit donc de démontrer que

as

Pour cela, i-emarquons qu'en exprimant ^ en coordonnées x,yr z, on trouve

d

^•5F =

./£+_^: + -JL—

=^. (T. II, p. i63 de ce Journal.)

On reconnaît aisément que le second membre est l'expression de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent à l'ellipsoïde au point m {x,j, z). Soit /> cette perpendiculaire; on aura donc

ds fi '■

et, par conséquent,

^-r dû) = 2 ° dco = - ^pda. as fi fc '

Soit n l'aire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués de l'ellipsoïde , compris dans le plan diamétral parallèle au plan tangent en m; le produit/jF! sera le volume du rhomboïde construit sur ces deux demi-diamèlres et sur un troisième qui aboutit au point m. Ce troisième est conjugué aux deux premiers; le volume du rhom- boide est donc constant, et égal au produit des trois derni-dianriètres principaux de l'ellipsoïde. Ainsi l'on a

^.n = /uy/zu' — Z>* \//u* — c*.

Soit n' l'aire de la section de l'ellipsoïde par le plan diamétral qui contient le parallélogramme U ; on aura

n' = ttU,

PURES ET APPLIQUÉES, -ar étant le rapport de la circonférence au diamètre ; donc

p.n' = -Tf. \V — b'. vV — c% et , par suite ,

Ainsi l'intégrale cherchée est la somme des éléments superficiels de l'ellipsoïde divisés par les aires des sections faites dans l'ellipsoïde par des plans diamétraux parallèles à ces éléments; cette somme étant multipliée par le produit tt. \/u' — b*. \^u' — c*.

Or j'ai démontré par de simples considérations géométriques, dans mes applications du Principe d Homographie {*) ^que la somme des éléments superficiels d'un ellipsoïde, divisés par les aires des sections diamétrales parallèles aux plans de ces éléments , est égale à 4 ; on a donc

C. Q. F. D.

Ainsi la formule en question est démontrée géométriquement et sans aucune intégration.

Je vais profiter de cet article pour faire quelques remarques sur deux autres passages du mémoire de M. Lamé.

La perpendiculaire p, que nous avons introduite dans l'intégrale qu'il fallait calculer , peut être employée encore utilement dans une autre expression, pour en donner la signification géométrique.

On trouve (p. 166, tome II, de ce Journal), que la quantité de chaleur qui traverse, pendant l'unité de temps, un élément dco d'une surface isotherme ellipsoïdale , est proportionnelle à

\/u^ — ,' v/^' - c

C) Aperçu historique sur l'origine et le développement des Méthodes en Géo- métrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne; suivi d'un Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la Science , la Dualité el l'Homographie; in-4'' , 1 837. Bachelier ; voir p. 819.

i4 JOURNAL Dli MATHÉMATIQUES

M. Lamé en conclut que les flux de chaleur, aux extrémités des axes de Vellipsoide , ont des intensités respectivement proportionnelles à ces axes.

La formule est susceptible d'une signification géométrique sembla- ble , pour tous les points de la surface de l'ellipsoïde.

Eu effet, on trouve (p. 177) l'équation

>'(^^— <!'')(;«' — C-)

La valeur de la perpendiculaire/), dont nous nous sommes servi ci- dessus, se change donc en celle-ci

' Vf^-- y Vf^^ — e ' L'expression de la quantité de chaleur qui s'écoule par l'élément du) de la surface de lellipsoïde devient donc

da.p.

y. vZ/k'" — *" V f-'^ — C'

Le dénominateur est constant pour tous les points dun même ellip- soïde. On conclut donc de cette expression que

Les jlux de chaleur, en différents points d'une même surjace iso- therme , ont des intensités proportionnelles aux perpendiculaires abaissées du centre de la surface sur les plans tangents en ces points.

Cette loi générale donne en particulier l'énoncé ci-dessus pour les points situés aux extrémités des diamètres principaux de la surface.

M. Laraé , en étendant aux surfaces coniques les beaux résultats trouvés pour les surfaces isothermes ellipsoïdales et hyperboliques , qui sont des séries d'ellipsoïdes et d'hyperboloïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, a été conduit à deux séries de surfaces coniques du second degré qu'il définit par cette propriété géométrique , d'être les cônes asymptotes des hjperholoides isothermes aune et à deux nappes (p. 172).

M. Lamé conclut de là que chaque cône d'une série coupe à angles droits chaque cône de l'autre série (p. 175).

Ces deux séries de surfaces coniques trajectoires orthogonales peu-

PURES et' APPLIQUÉES. i5

vent être définies par une propriété caractéristique qui leur est propre, et qui est indépendante de la considération étrangère des hyperboloïdes auxquels les cônes sont asymptotes ; cette propriété consiste en ce que tous ces cônes ont les mêmes lignes focales.

On appelle W^nes focales d'un cône du second degré, deux dro tes qui jouent le même rôle dans le cône, que les foyers dans les sections coniques. Par exemple, la somme des angles que chaque arête du cône fait avec les deux lignes focales est constante.

La théorie des lignes focales comprend beaucoup d'autres proposi- tions analogues h celles de la Géomc'ti'ie plane. J'en ai démontré un assez grand nombre dans mon Mémoire sur les Propriétés générales des cônes du second degré (in-4'', i85o). On y trouve la pioposi- tion citée ci-dessus du Mémoire de M. Lamé, savoir, que les cônes qui ont les mêmes lignes focales et qui se coupent , se coupent à angles droits.

Ces cônes complètent la théorie des surfaces du second degré tra- jectoires orthogonales.

A toutes les propriétés des lignes focales, correspondent, dans un cône du second degré, d'autres propositions concernant les plans de ses sections circulaires. Ainsi par exemple, au théorème énoncé ci- dessus , concernant les angles que chaque arête d'un cône fait avec les deux lignes focale^;, correspond celui-ci : La somme des a/igles que chaque plan tangent à un cône du second degré fait avec les plans de deux sections sous-contraires , est constante.

Celte matière, encore très peu cultivée, est extrêmement abon- dante. Mais ce n'est pas ici le lieu d'en parler plus longuement.

La propriété remaïquée par M. Lamé, savoir, que les cônes asymp- totes de deux séries d'hyperboloïdes décrits des mêmes foyers , se coupent h angles droit.'^, n'est qu'un cas particulier d'une propriété générale des surfaces du second degré décrites des mêmes foyers, sa- voir que : tous les cônes circonscrits à ces surfaces , qui ont pour som- met commun un point quelconque de l'espace, ont les mêmes axes principaux et les mêmes lignes focales (*). D'où il suit que tons ces

(*) J'ai donné ce théoi'ème dans le ilulletin de l' Acadimie des Sciences de Bnixclles, toine I, page 216.

,6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

cônes se coupent à angle droit. De sorle que les contours apparents de ces surfaces, pour un lieu quelconque du spectateur, semblent se couper deux à deux à angles droits.

Les surfaces du second degré dont les sections principales ont les mêmes foyers jouissent d'un très grand nombre d'autres propriétés géométriques. (Voir Aperçu historique sur l'origine et le développe- ment des méthodes en Géométrie, etc., p. 384 — Sgg.)

Ces surfaces se sont déjà présentées dans plusieurs questions, et par- ticulièrement dans des questions de Physique et de Mécanique. Mais les systèmes de cônes qui sont de la même famille , et que M. Lamé a considérés dans son Mémoire sur les surfaces isothermes, ne s'étaient pas encore présentés , je crois, dans de pareilles questions. On peut en introduire la considération dans quelques phénomènes de la po- larisation ; car les deux axes du cristal sont les ligues focales de cer- tains cônes du second degré. Les plans de polarisation , pour diffé- rentes directions du rayon de lumière, sont tangents à ces cônes; et leur orthogonalité résulte de ce que deux cônes se coupent à angles droits.

Si l'analogie qui a lieu entre les propriétés géométriques des lignes focales des cônes et celles des foyers des sections coniques, pouvait être étendue aux propriétés attractives dont ces points jouissent dans le système du monde où ils sont les centres où résident les forces qui sollicitent les corps célestes, on serait porté à penser que les lignes focales des cônes sont aussi les centres des forces polarisantes, dans les phénomènes de la lumière.

PURES ET APPLIQUÉES. 17

Sur les lignes conjointes dans les coniques ; Par m. TERQUEM.

1. J appelle lignes conjointes deux droites telles qu'en les prenant pour axes des coordonnées les coefficients des deux carrés dans l'équa- tion de la courbe deviennent égaux.

2. Il est évident que deux droites conjointes coupent la conique, généralement parlant , en quatre points , situés sur un même cercle , que je désignerai sous le nom de cercle conjoint ; et réciproquement quatre points d'une conique étant sur un cercle , en les joignant deux à deux, on obtient deux ligues conjointes.

5. Deux diamètres égaux sont deux ligues conjointes; il en est de même des asymptotes de l'hyperbole; un diamètre principal se con- fond avec son conjoint.

4. Problème. Étant donnée V équation dune conique , et celle d'une droite tracée dans son plan , trouver i '. l'équation de la droite con- jointe j passant par l'origine ; a°. l'équation du cercle correspondant ?

Solution. Soit

Aj''-f-B^r+CT'-f-D/-|-Ejr-f.F=o(0, équat. cîe laconique; y=aiigle desaxes.

<y -f-6x-|-c = o (2), delà droite donnée.

ay+b'x = o (3), de la droite conjointe cherchée.

(aj-'\-bx+c){ay-i-b'x)=zo (4),... système des deux droites.

Ajoutant les équations (i) et (4) , il vient

{A+aa')y'+xy(B + ab'-ha'b)-hx^(C-i-bb')-^j{D-i-ca') 1

H-a:(E4-cè')+F = o. J ^^>

Pour que cette équation représente un cercle, l'on doit avoir

A -i- aa' = C -\- bb'

B 4- rt6' + a'b = 2 ces > (A + aa'};

Tome lU. — Janvier i838. ', '

i8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

d'où l'on lire

, a{C — A^ -f- 6(aAcosy — B) \ a = ■■ ^ — , I

,, i/{x — C) + a(2Ccosy— b; y (6)

b = j , /

d* = a' — 2ab cosy + ^'. / Substituant les valeurs (6) dans l'équation (5), elle devient A>='+2A'cos>x'+ A'x'4-j[Drf+ca(C— A)-|-c6(2 Acos> — -B) ] ) 4- X [E^ + cb (A — C)-i-ca (2C ces > — B)] -\-¥d=o, > (7j A'= Ab^—Bab -f- Ca'. *

Cette équation (7) est celle du cercle conjoint.

Ainsi la rechei'che de l'intersection d'une droite et d'une conique est ramenée à l'intersection de cette droite et du cercle (7) que l'on peut toujours facilement construire.

5. Si la droite (2) passe par l'origine, alors c = o; désignant par a^ /S, R les coordonnées du centre et le rayon du cercle conjoint, ou

aura

d

2.x' siii" y

(D cos > — E) ,

^ = ^/. , (Ecos>— D), ) (8)

K' = , /. Œ'^— 2DE(/ cos y +D'c?— 4A'F sin'>) ;

4A ' Sin' y *•

d'où l'on tire

f, Ecosy — D

c D cos y — -E'

Ainsi tous les cercles conjoints qui correspondent à un même point, ont leurs centres situés sur une droite passant par ce point, perpen- diculairement à la polaire de ce point; et cette droite est une normale, lorsque le point est situé sur la conique.

On peut donc, à l'aide de deux droites conjointes, mener une nor- male à la conique par un point donné sur cette courbe, et par con- séquent aussi une tangente.

6. Si l'on fait

h' b

PURES ET APPLIQUÉES, 19

alor^ les droites conjointes sont parallèles aux axes principaux ; et il vient en ayant égard aux équations (6) ,

b'(2Acosy — B) + 2ab{C — A.)-\-a'{B— 2Ccos>) = o, (9)

équation qui donne les directions des axes principaux.

-. Soient 3c' , j' les coordonnées d'un point de la conique; en y transportant l'origine sans rien changer aux directions des axes, l'équation (i) prend la forme

Ay + Bxr •+■ Cx* ■+■ D>- + E'jr = o , (10)

D' = 2Aj' + Bx' + D, E' = 2Cx' ■+- Br' 4- E : l'équation de la tangente à l'origine est

D'j ■+- Ex = o: l'équation (7) devient alors celle du cercle osculateur, en y taisant

a = D', h = E', c = o : elle se réduit à

L(7' + x'+ ■2xr cos y) -{- M'(Dy -\- E'x) = 0, (i i) où I. = AE'— BDE-FCD'+F(B'— 4AC), M* = D'»— 2D'E'cos>-t-E" ,

W 'T\' Vt\

et = . . , .(^Dcosv — L'),

aLsin y

a, /3 et R, sont les coordonnées du centre de courbure, et le i-ayon de courbure; la construction de ces lignes ne souffre aucune difficulté et il est inutile d'entrer dans la discussion des divers cas particuliers.

On voit aussi que lorsque la conique est tracée , on peut . à l'aide des lignes conjointes, et avec le compas .î^mZ. trouver des normales, des tangentes, etc.

Les mêmes considérations peuvent servir à déterminer les normales, les plans tangents, les deux lignes, centres et rayons de courbure, dans les surfaces du second degré.

i8

d'où 1 on lire

JOURNAL DE MATHÉMATIQUIiS

a(i\^

A) 4- A(3Acosy — H) d

,, //(A — C) + a(aCco»y

d* = a* — -lab cos^ -j- A'-

Substituant les valeurs (G) dans l'équation (5), elle < vicmI

A>''+2A'cos>-ar*+ A'j?'+/[Dr^4-Crt(C— A)-+-fA(r! A<»s> — Bj

+ a:[E<yH-c^'(A — C) + ra(2Ccos> — B)]-ff^/^o. ) [j)

A'= Aft*— BflA -f-CrtV

Cette équation (7) est celle du cercle conjoint.

Ainsi la recherche de l'interseclion d'une droite t d'une conique est ramenée ù l'intersection de cette droite el du cicle (7) que l'on peut toujours facilcmeat construire.

5. Si la droite (2) passe par l'origiuc , alors t—j; désignant par a, /3, K les coordonnées du centre et le rayon du cde conjoint, on aura

/3 =

(E cos y — D) ,

2 A' sin* y K« = ,,,f,,,^,_ (EV/— aDE^cos y H-D

jA'' sin" y d'où l'on tire

'd-/,\'\m*y)',)

(8-

Ecosy — D

le Dcos y — -E'

Ainsi tous les cercles conjoints qui correspondent un mêm' ont leurs centres situés sur une droite passant par e point, diculairement à la polaire de ce point; el cette droit est une > lorsque le point est situé sur la conique.

On peut donc, à Taide de deux droites conjointe, mener maie à la conique par un point donné sur cett' séquent aussi une tangente.

6. Si l'on fait

b' b

alor:5 vient

équ;.

tra l'é

bien voulu oidon- rs ^*).

'usidère, en premier

ationsdiflerentielles

■ationnels; et je fais

ndeiles existent, ou

En second lieu, je

le, se ramènera tou-

.les de X, liées à cette

entielles linéaires. Tout

it on a parlé plus haut,

néaires .- s'il n'existe pas

exprimable par aucune

>ntraire, pour obtenir z,

leu de m^ts ne laisse rien ais, dans la pratique, elle ïue je me propose d'ex pu- es généralités.

-:i simple de former les u terminent les ^ inconnues es ces équations se déduisent

+• .